איזה גורמים משפיעים על מקום שבירה של מנוף פשוט?
19/12/2010

השאלה מאת נתן בלנק

התשובה באדיבות אתר "בשער".

נגיד שאני מנסה להשתמש במנוף פשוט (מקל ומשענת) כדי להרים חפץ. החפץ כבד מדי, ולכן המקל יישבר. האם המקל יישבר תמיד בנקודת המפגש עם המשענת, או שהוא עלול להישבר גם בנקודת המפגש עם החפץ? איזה גורמים משפיעים על כך? בהנחה שהמקל חזק באותה מידה בכל הנקודות שלו, שהמשענת והחפץ מחוספסים באותה מידה, ושהחיכוך עם האוויר זניח.

תשובה מאת פרופ' שמואל אליצור, מכון רקח לפיסיקה, האוניברסיטה העברית

המקל יישבר בנקודת המפגש עם המשענת. בנקודה זו הכח שמפעיל חלק המקל מימין לנקודה על חלקו משמאל לה הוא מכסימלי.
כדי לראות זאת נניח כי המקל אפקי ומונח על ציר x כשקצהו השמאלי בראשית הצירים וכי כיוון כח הכובד הוא בכיוון בשלילי של ציר y. יהי a+b אורך המקל, החפץ שמסתו M תלוי בקצהו הימני של החוט בנקודה x=a+b .המשענת בנקודה x=a, והאדם המרים את החפץ מפעיל על המקל כח F=Mg*b/a כלפי מטה בראשית הצירים.
נניח שלפני קריסתו נמצא המקל במנוחה. נתבונן בכוחות הפועלים, לא על המקל כולו אלא על חלקו של המקל בין ראשית הצירים לבין הנקודה x. נניח תחילה כי x הוא 0 ולכן החלק השני של המקל, זה שמימין לנקודה x , מפעיל על החלק הנידון כח F כלפי מעלה בנקודה x. אולם לא די בכך כדי שחלק המקל הנידון יהיה במנוחה. לא רק סכום הכוחות צריך להיות 0 אלא גם סכום המומנטים. אם נחשב את המומנטים ביחס לראשית הצירים, הרי שהכוח F הפועל בנקודה x מפעיל מומנט F*x השואף לסובב את חלק המקל הנידון בכיוון השעון. כדי לבטל מומנט זה חייב החלק השני של המקל להפעיל על החלק הנידון כוחות בכיוון x . יהי d עובי המקל. בחלק העליון של המקל יפעל על חלק המקל הנידון כח f בכיוון החיובי של x, כלומר ימינה, בעוד שבחלק התחתון של חלק המקל הנידון יפעיל עליו חלקו השני של המקל כוח זהה f בכיוון שמאלה. שני הכוחות הללו בכיוון x מסתכמים ל0 כנדרש מהיות החלק הנידון במנוחה, אולם הם תורמים מומנט סיבוב בכיוון השעון של f*d . כדי שסכום המומנטים על החלק הנידון יהיה 0 צריך להתקיים f=F*x/d ולכן כח זה גדל עם x. חישוב זה נכון רק אם xa הרי שעל חלק המקל בין הראשית לנקודה x פועל גם הכוח שמפעילה המשענת כלפי מעלה.
כח זה הוא F+Mg=F(a+b)/a . הכח הכללי בכיוון y המופעל בראשית הצירים ועלידי המשענת הוא Mg כלפי מעלה, והוא מבוטל על ידי כח Mg=F*a/b כלפי מטה המופעל בנקודה x על ידי חלק המקל מימין לx . המומנט הכללי ביחס לראשית הצירים הוא עתה Fa+Mga-Mgx . מומנט זה מתבטל כמקודם על ידי צמד הכוחות בכיוון x המופעל על חלק המקל הנידון על ידי חלקו השני, כח f ימינה בחלקו העליון של המקל ושמאלה בחלקו התחתון.
כדי לבטל את המומנט הכח f הוא: f=(Fa+Mga-Mgx)/d והוא יורד עם x. נמצא שהכח האפקי f שמפעיל החלק האחד של המקל על משנהו מגיע למכסימום בנקודה x=a, היינו במקום המשענת. אם חוזק המקל הוא אחיד שם הוא יישבר.